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Matemática 51
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
Hallar la ecuación de la recta tangente al grafico de $f$ en el punto $(x_{0}, f(x_{0}))$ para el $x_{0}$ dado.
a) $f(x)=-2 x^{2}+13 x-15$ en $x_{0}=3$
a) $f(x)=-2 x^{2}+13 x-15$ en $x_{0}=3$
Respuesta
¿Te acordás qiue en el curso te dije que hay tres tipos de ejercicio sobre recta tangente que te pueden tomar? Bueno, este ejercicio es del primero tipo: Hallar la ecuación de la recta tangente. Mirá el video donde te explico tooodas las variantes de esto que te pueden tomar (particularmente la forma en que te dan el dato de la pendiente) y vení que vamos a resolverlo.
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Para hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de una función $f$ en un punto específico $(x_0, f(x_0))$, primero vamos a plantear dicha ecuación, y después calcular la derivada de la función en ese punto, que nos va a dar la pendiente de la tangente, y luego calcular la ecuación de la recta a partir del punto y la pendiente (tal como vimos en funciones lineales).
La ecuación de la recta es:
$ y =mx+b$
Para el punto $(x_0, y_0)$ nos queda:
$ y_0 =mx_0+b$
donde $m = f'(x_0)$ y $y_0 = f(x_0)$
1. Primero calculemos la derivada de la función para poder hallar la pendiente $m = f'(x_0)$:
$ f'(x) = (-2 x^{2}+13 x-15)' $
$ f'(x) = -4x + 13 $
Ahora evaluamos la derivada en $x_0 = 3$ para obtener la pendiente de la tangente:
$ m = f'(3) = -4(3) + 13 = -12 + 13 = 1 $
2. Ahora calculemos $y_0 = f(x_0)$:
$ f(3) = -2(3)^2 + 13(3) - 15 = -2(9) + 39 - 15 = -18 + 39 - 15 = 21 - 15 = 6 $
Reemplacemos los valores en la ecuación de la recta:
$ y_0 =mx_0+b$
$ 6 =1.3+b$
$ 6 -3 = b$
$b=3$
Reemplazamos los valores de $m$ y $b$ en la ecuación de la recta y nos queda $y = 1x + 3$.
La ecuación de la recta tangente es $y = x + 3$.
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